جستار های ذهنی یک دانشجوی معمولی



از شروع ترم ۹۸-۲  نزدیک به یک هفته میگذرد ، امید من در این ترم بیشتر خواندن ریاضی نسبت به سایر زمان هاست ، هر چه میگذرد بیشتر متوجه گستردگی مباحث میشوم و جایی خوانده بودم که قبل از دانشگاه دیدگاه آدم به دانشگاه خیلی آرمانی است و طوری برنامه ریزی میکند که فلان مبحث را تا فلان موقع تمام میکنم اما در عمل به دلیل مشغله های دوران دانشجویی امکان تحقق آن بسیار کم است در آن زمان خودم را تافته ی جدا بافته میدیدم و میگفتم اینها کشک است ، اما الان کاملا با آن حرف موافقم ،‌ و اگر آدم برنامه ریزی معقولی نداشته باشد امکان ندارد که بتوان به چیز هایی علاقه دارد برسد . 

چند وقت پیش درحالیکه در خیابان انقلاب پیاده روی میکردم ، داشتم در مورد آینده فکر میکردم و اینکه آیا بالاخره ارشد را ریاضی بروم یا نه ، بدیهی ترین نکته این بود که قطعا آینده ای در مهندسی برق نخواهم داشت ،‌وضعیتم بعد از ترم ۳ و شروع دروس تخصصی این رشته بیشتر رقت آور بوده تا هر چیز دیگری ، اما درمورد ریاضی هم هیچ چیزی روشن نیست ، چه از نظر شغلی و چه از سایر منظر ها ، ناگهان یاد کتابی افتادم که شاید چند سال از خواندنش میگذشت به نام (شاگردی یک ریاضیدان )‌نوشته آندره ویل ( این فرد از ریاضیدانان بسیار درجه ۱ است که دیده ام میتوانید در مورد خودش و حتی گروه بورباکی سرچ کنید تا متوجه اهمیت کارهای این فرد شوید . )‌جدای از اینکه کتاب بسیار ارزشمند بود در یکی از فصل ها که نویسنده به هند سفر میکند مطلبی دارد که اگر بخواهم آنرا نقل به مضمون کنم چیزی شبیه به این میشود که در آیین هندوئیسم چیزی وجود دارد به نام کریشنا ( حتی از اسم آن هم مطمئن نیستم !‌)‌ که در واقع هدف زندگی و چیزی است که به انسان لذت حقیقی میدهد (‌به نظرم منظورش این است که سایر لذت ها رفتار به شدت گذرایی دارند اما لذات حقیقی حتی با گذشت زمان و یادآوری دوباره هنوز از ارزششان چیزی کم نشده . )‌ ،‌و اینکه هر انسانی باید غایت خودرا در راستای آن قرار دهد ، و اگر کار آدم یا مشغله ها کاملا جدا از این موضوع باشند تاثیرات بدی روی ذهن آدم میگذارند ، حال برای من هم مسجل شده که باید  به این مساله توجه جدی کرد . 

قرار است که مطالب جالبی که میخوانم را در اینجا هم قرار دهم اما چند نکته است یکی اینکه تعداد خوانندگان این وبلاگ و البته آنهایی که به ریاضی علاقه دارند احتمالا بسیار اندک خواهند بود و دوما نحوه ی فرمول نویسی با LaTeX در وب را بلد نیستم فلذا احتمالا صرفا فایل pdf آنها را خواهم گذاشت تا بقیه هم در لذت من سهیم شوند .


ابتدا مطالبی را دوست دارم از مجله فرهنگ و اندیشه ریاضی نقل قول کنم در باره ی اصل انتخاب :‌

اصل انتخاب ، اصل عجیبی است پذیرفتنش یک مصیبت است و نپذیرفتنش یک مشکل . شاید کنجکاوی برانگیز ترین نکته در باره اصل انتخاب این باشد که چه موقع از آن استفاده میکنیم . یعنی رد پای اصل انتخاب را در هر کجا که به کار گرفته شده ببینیم . این کار همیشه آسان نیست به ویژه اگر به یاد بیاوریم که بسیاری از ریاضیدانان بزرگ اواخر قرن نوزدهم و اوایل قرن بیستم ، یعنی در اوج شکل گیری نظریه مجموعه ها و اصصل انتخاب باوجود مخالفت با اصل انتخاب ، بارها ندانسته و نخواسته از این اصل استفاده کرده بودند . چرا چنینی چیزی باید تا انی حد مهم باشد ؟ چرا دانستن این که در فلان قضیه اصل انتخاب به کار گرفته شده است یا نه مهمه است ؟ پاسخی که فورا به ذهن می رسد این است که اصل انتخاب از بقیه اصول نظریه مجموعه ها مستقل است . یعنی نمی توان آنرا از دیگر اصول نظریه مجموعه ها مانند اصل تصریح ، زوج سازی اجتماع و . نتیجه گرفت . به طور معادل به این معنی است که میتوان مدلی ساخت که دیگر اصول صادق باشند اما این اصل راست نباشد و بالکعس . 

اگر این اصل را بپذیریم قضیه باناخ تارسکی را داریم که از یک کره به کمک اصل انتخاب دو کره همنهشت با آن بدست می آورید. نتیجه ای که شهود یا به عبارتی با عقل سلیم همخوانی ندارد . از سوی دیگر اگر آن را کنار گذاریم حلقه های واحدداری یافت خواهند شد که ایده آل ماکسیمال ندارند . فضاهای برداری بدون پایه خواهیم داشت ،‌مجموعه های نامتناهی که فاقد زیر مجموعه های شمارا هستند ( که این هم با عقل سلیم همخوانی ندارند ) و حاصلضربی از فضاهای فشرده که فضرده نیستند و هزار چیز دیگر . 

مجله فرهنگ و اندیشه ریاضی شماره ۳۶ صفحه ۳۹ تا ۵۵ با دخل وتصرف 

 

نگاه کنید این پارادوکس به این شکله که در گام اول میان کره رو به تعدادی زیرمجموعه ی جدا از هم افراز میکنن و بعد این هارو طوری انتقال یا دوران میدن ( بدیهتا این تبدیل ها حافظ حجم هستند . ) که بتونن دو کره بدست بیارن که این مخالف شهود طبیعی ما هست .
نکته ی اساسی این مساله اصل انتخاب هست ( یکی از صورت های اصل انتخاب به این صورت میشه بیان کرد که حاصلضرب یک خانواده از مجموعه های ناتهی ، ناتهی هست .)‌.
در واقع ایده ی اصلی این پارادوکس از پوشش ویتالی گرفته شده ، که میشه حکم قوی تری رو به اثبات رسوند که بدین صورته برای هر دو مجموعه ی کراندار A و B که در درون ناتهی داشته باشند در فضای اقلیدسی *(که حداقل بعد فضا بیشتر از ۳ باشه . )‌ رو میشه طوری افراز کرد ( مثلا به A_i ها و B_i ها طوریکه هر A_i و B_i با هم هم نهشت باشن از نظر گروه تبدیلات اقلیدسی ( نمیدونم واژه ی هم نهشتی درسته یا نه ولی تعریف ریاضی دو مجموعه G-هم نهشت اینه که رای گروه تبدیلات G ، وجود داشته باشه g_i ای عضو G که داشته باشیم g_i(A_i)=B_i ) به راحتی از این فرم قوی تر میتونید پارادوکس عادی باناخ تارسکی رو نتیجه بگیرید کافیه که B رو دو کپی از A در نظر بگیرید .

* : علت اینکه این قضیه برای ابعاد ۱ و ۲ درست نیست اینه که اگر گروه تبدیلات اقلیدسی یعنی E(n رو در نظر بگیرید ، در این ابعاد این گروه Solvable هست اما در ابعاد بالاتر شامل یک گروه آزاد با دو مولد خواهد بود . ( در واقع میشه شرط لازم و کافی رو برای ایجاد یک چنین تناقضی رو با بررسی این گروه ها پیدا کرد که مثلا میشه به این صفحه مراجعه کنید :
https://en.wikipedia.org/wiki/Amenable_group )


آخرین ارسال ها

آخرین جستجو ها